创意总会有枯竭的那天，但创新不会，唯有创新才有可能源源不断、永无止境

根据网上查到的资料，创意这个词是创新的子集：

创意是创造意识或创新意识的简称，亦作“剙意”。它是指对现实存在事物的理解以及认知，所衍生出的一种新的抽象思维和行为潜能。

但是我认为从实践中讲，更准确地，应该这样定义创意。假设创新是一个集合$A$，那么创意就是任意一个单射$f: B\rightarrow A$且满足$f(B)\subsetneqq A$。By abuse of notation，我们直接将其记作$B$。显然，此定义推广了创意的文字定义。

怎么理解这个定义呢？首先两个定义的共同之处是——创意小，创新大。在生产实践中，创意的例子比比皆是，比如说一个商品的包装、一个产品的界面和logo、相同食材的不同煮法等等。这些创意有些是有限的，而有些看似无限其实也是有其上确界。我们可以将这个说法写成一个命题。

命题/定义1. 任意一个创意$B$，都存在一个最小实数$M\in\mathbb{R}_{\geq0}$使得$\|B\| \leq M$。此数被称为创意$B$的上确界，并记作$\sup(B)$。

为什么说创意是有限的？从生产实践中考虑，绝大多数有创意的产品，经过激烈的商业竞争，在不断的 产生新创意→被抄袭→产生新创意 的这个过程中，最后的结果往往都是创意逐渐枯竭，哪怕还是能挤出来，但是创意的新意已经逐渐下降，产生不了足够的效果。而通过创意取得成功，并在激烈的竞争中存活下来的产品，往往最后也不是靠创意，毕竟创意本身就很难作为护城河，人与人产生重复想法的概率是很高的。

因此，我们可以衍生出一个概念有效创意与无效创意。有效创意即是上面所说创意，都是有限集。而无效创意则是在同构意义上，有效创意在创新中的补集。

这时我们可以过度到创新了，在现实中，创新往往对应是科学理论以及科学技术。而这两者的发展往往都是无止境的，以数学为例，哪怕一个分支做不动了、死了，那也只是当前的数学工具不足以推动它的发展，如果未来某些领域取得新突破进而产生全新的数学工具，说不定就能借此“复活”那些“死去”的分支。历史上费马大定理、庞加莱猜想等这些问题之所以那么重要，不仅仅是问题的本身，还有解决问题过程中所诞生的新理论、新工具、新思想。

所以，希尔伯特才会说他不想解决费马大定理，因为这个问题不解决比解决了好。

一个世纪过去了，希尔伯特所列的那23个问题约有一半问题已经解决，其余一半的大多数也都有重大进展。但希尔伯特本人没有解决其中的任意一个。有人问他，为什么他不去解决自己所提的问题，譬如说费马大定理？

费马是在一页书的空白处写下该定理的，他同时宣称自己已经想出了一个美妙的证法，但可惜的是空白区不够大，写不下了。希尔伯特的回答同样幽默：“我不想杀掉这只会下金蛋的母鸡”——德国一企业家建了一个基金会奖励第一个解决费马大定律者，希尔伯特时任该基金会的主席，每年利用该项基金的利息请优秀学者去哥廷根讲学，所以对他而言，费马大定律者是只会下金蛋的母鸡。（费马大定律直到1997年才被解决。）

对比之下，可知创意往往是有限集，而创新却能是无限集。并且创新是创意诞生的源泉，即我们有这样一个命题

命题2. 任意一个创新$A$，都存在一个满射$g: A\rightarrow B$，使得存在一个单射$f: B\rightarrow A$满足$g\circ f=1$。

本文关于创意和创新的数学+实践讨论就先到这里，内容并不是十分严格，可以看成一种近似或者fuzzy。