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凯旋门？秋叶原！

还算这群西哥特蛮子有点品味😋

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弦圈热门内容

把加法与乘法结构拆掉再复原？望月新一如何引发代数几何变革

据《朝日新闻》，望月新一关于ABC猜想的论文可能将要发表，审核它的期刊是《数理解析研究所公刊》（PRIMS）。媒体对此的报道大抵聚焦在两点上：一是这个期刊就是他的工作单位主办的，一是这个论文几乎无人能懂。作为一个数学研究者，我个人并不担心望月新一的利益冲突问题，不但因为数学界有一套相当完备的系统用以避免利益冲突，在选定编辑和审稿人时有良好的避嫌标准，更重要的是：他没有动机。他已经功成名就，不需要什么文章。数学这种东西，对就对，错就错，不存在编数据或者实验造假，一切细节都在文章里。要是错了，无论强行发表在什么期刊上，也终有一天会被发现，而一发现就无可抵赖，只能重新修补。但是他的理论绝不仅仅是一个“几乎无人能懂”的怪物而已。它所试图解决的根本数学问题，它背后的当代数学界的面貌，它反映出的做数学研究是怎样的状态，这里面还有太多的故事并不是、也不应该是只有几个人能懂。甚至也许可以说，这些故事能让人直观地感受到：现代数学是什么。破题望月新一的研究领域，是所谓的“远阿贝尔几何学”。如果一句话解释这个领域的话，我只能这样写：有理数的绝对伽罗华群，以至任意代数簇的平展基本群，它们“远离阿贝尔”的部分， ...

将反向传递看成函子：强化学习的一个复合视角

这篇文章是数学家与计算机科学家合作写的，将范畴论应用于人工智能的强化学习。本文表示，强化学习算法与强化学习算法的复合，还是一个强化学习算法，因而所有强化学习算法构成一个范畴$\textrm{Learn}$。然后在$\textrm{Learn}$里考虑神经网络，并证明在一般情况下，梯度下降也是复合的。如果对纯数学理论，在计算机或者AI有什么应用感兴趣的人，可以看看。我当时下这篇文章，也是好奇代数领域在AI方面有啥应用，其实当时已经知道有个叫热带几何（Tropical Geometry）的领域，就是代数几何在计算机的应用。因为当时AI就很火，但AI可解释性需要很多数学来解决，他们解决不了，所以我留着这篇文章也是打算之后写篇类似的AI应用的文章。

Grothendick著名Tôhoku paper：Sur quelques points d'algèbre homologique

这是Grothendick著名的关于同调代数的文章Tôhoku paper的法语原版，该文章概述了很多同调代数的重要概念，其中基本都跟代数几何有联系，并且里面不少概念其实是Grothendick本人提出来的，如abelian categories。可以说这篇文章是同调代数的经典文章，在数学圈内也时常有人推荐看这篇文章，毕竟这可是祖师爷亲自从同调代数的基础概念一步步讲起，这对学同调代数或者代数几何的人都有很大裨益。PS：该文章分为两个pdf，英文翻译版见Grothendick经典同调代数文章：Some aspects of homological algebraPS：作者不再提供附件下载。

Tammo Tom Dieck代数拓扑教材

EMS出版的代数拓扑教材Algebraic Topology，作者是Tammo Tom Dieck。本教材相较于Hatcher的书，没有那么太多的插图，并且内容更加抽象。本书知识密度高，内容精炼简洁，没有过多的废话。很适合有一定代数基础，且喜欢直接切入主题，快速学习的人。对于还未入门的小白而言，这本书不太适合作为代数拓扑的入门教材。我高中的时候就在看这本教材，但总在一些地方无法彻底理解。但这本教材吸引我的地方，一是它的内容涵盖面够广，并且知识密度够高，能够让我短时间内掌握代数拓扑方面的基础知识；二是它的描述更加的抽象，并且语句简洁明了、容易理解，很符合我的口味（这也是我当时选择代数几何的原因）。关于本教材与其他代数拓扑教材更具体、更专业的对比，请看Algebraic Topology I: 对教材跟概念的一些论述。PS：作者不再提供附件下载。

望月新一关于abc猜想的天书证明：宇宙际Teichmüller理论

望月新一以及他的Inter-universal Teichmüller Theory（宇宙际Teichmüller理论）可以说是非常出名，相较于费马大定理证明的晦涩难懂，宇宙际Teichmüller理论才算是真正的天书，全世界没几个人能看得懂，就连大佬Faltings都看不懂。望月新一是Faltings的学生，Faltings以“暴力横推”的风格闻名，张寿武说过Faltings的风格就像直接开着推土机把山碾平了过去。并且Faltings看论文都是只看前沿（introduction）就能知道整篇论文的主要定理，甚至还能直接证出来。见望月新一与他天书般的论文，展现了纯数学与我们的距离可见Inter-universal Teichmüller Theory有多难懂，它涉及到代数几何一个高深的领域：远阿贝尔几何（anabelian geometry），顾名思义就是考虑平展基本群$\pi_{1}^{et}(X,x)$远离阿贝尔的部分，远阿贝尔几何源于Grothendick的一封入职信Esquisse d'un Programme，他于其中提出一个宏大的理论，然而最终他却没能将其实现。而望月新一可 ...

Algebraic Topology I: 对教材跟概念的一些论述

关键词：Homotopy, Homology, Groupoid, Foundamental Group, Van Kampen Theorem, Covering Space, Covering Projection, Fibration with unique path lifting, Cofibration.Tammo tom Dieck 在他的代数拓扑教材中写了非常漂亮的前言，在点出代数拓扑精髓的同时还包含一些形而上学的哲思，并且简略地介绍了代数拓扑里面的两个核心词汇，同伦(homotopy) 跟同调 (homology)。我简要地部分翻译如下：代数拓扑是连续数学跟离散数学交相辉映的学科。在连续数学里面，我们用拓扑空间和连续映射这样普遍的形式语言将其公理化。而离散数学则是被我们用来表达代数和组合概念的。在数学语言中，我们用实数来概念化连续形式，但我们建立实数时却是要用到整数。下面举个例子，我们直觉地认为时间是一个连续的没有间断的流动过程，是由一系列不停止的瞬间后继构成的。但在实践中，我们却使用被定义为有周期性的离散模型工具跟自然过程。同样地，我们意识到空间是一个连续体，但我们 ...

怀尔斯的费马大定理证明

费马大定理的证明可以说是算术几何的一个重要里程碑，当年怀尔斯虽然很小的时候就被该问题所吸引，从而选择做一个数学家。但作为一个这么多年都无人能破解的难题，怀尔斯也是兜兜转转，他也没一开始就打算攻克这个猜想。据说，是代数几何取得突破性进展之后，他才觉得是时候攻克费马大定理了。最后他成功证明了谷山-志村猜想，从而证明了费马大定理。可以说怀尔斯能证明费马大定理，是刚好生在一个合适的时代，并站在了巨人的肩膀上，从前人手中接过火炬。怀尔斯关于费马大定理的证明，就是这篇论文Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem。该论文非常晦涩难懂，没多少人能看得懂，可以说能彻底看懂费马大定理证明的人，都是圈内大佬。论文中涉及的知识面很广，包括椭圆曲线、模形式、伽罗华表示论、代数数论、类域论、群概形等等，想要理解费马大定理就得先理解前面这些理论。不过虽然我们看不懂，但该证明还是非常具有收藏价值的，看不懂也能看，也能欣赏嘛。并且对于做算术几何的人来说，可以用这篇论文来指导自己的学习和研究。Peter Scholze当年不也一上来就看费尔马大定理的证明，虽然un ...

评审8年终获发表，数学天才望月新一证明abc猜想，全球只有十几个数学家读懂但争议未消

abc猜想，数学界悬而未决的重要猜想，它的证明过程经过8年的同行评审，终于要在期刊上发表了。论文作者是日本的天才数学家望月新一，他33岁起就在京都大学担任数学教授。这一次望月新一的证明，全篇超过600页，2012年就已发表，但足足经过了8年的同行评审才通过，期间开过多次研讨会——但依然有很多数学家无法理解。据说，这篇论文全球只有十几位数学家深入研究了证明过程。许多数学家根本无法指出证明过程是对是错，因为根本看不懂。4月3日，日本京都大学召开了新闻发布会，宣布望月新一证明了它。包括Nature等在内的权威科学传媒组织，也这一重要进展进行了报道。望月新一没有出席昨天的发布会，他的另外两位同事说，当他知道自己的论文被接收，终于松了一口气。多年来他从未在公众场合露面。但也不是没有争议，因为当初接收论文的期刊——日本的PRIMS，主编正是望月新一本人。如果他的证明是正确的，那么将彻底改变数论。同时也正因为如此，才有了学界长达8年的争论。什么是abc猜想？abc猜想，最初由法国数学家约瑟夫·奥斯特莱和大卫·马瑟，在1985年提出。并且一经提出，abc猜想就成为数论领域的重要猜想之一。只是和哥德巴赫 ...

望月新一与他天书般的论文，展现了纯数学与我们的距离

导语：一位日本数学家声称已经解决了数学领域最重要的问题之一。但是，几乎无人能懂他的证明，无从判断对错。2012年8月30日的早晨，望月新一悄悄地在自己的网站上发布了4篇论文，总计长达500多页，密密麻麻地布满了各种符号。它们是作者孤独工作了十多年后的成果，可能会在学术界引起爆炸性的影响。在文中，望月新一声称解决了abc猜想——一个27年来在数论领域一直悬而未决的问题，令所有其他数学家都束手无策。如果望月新一的证明是正确的，它将是本世纪最令人震撼的数学成果之一，或将彻底改变整数方程的研究。David Parkins不过，望月新一本人并未对自己的证明大做文章。他任职于日本京都大学数理解析研究所（RIMS），是一位令人尊敬的数学家。他没有向全世界的同行宣布自己的研究成果，只是将论文发布在网上，等待世界去发现。第一个注意到他的论文的可能是玉川安骑男（Akio Tamagawa）——望月新一在RIMS的同事。和其他研究人员一样，玉川安骑男知道望月新一多年来一直在潜心钻研abc猜想，并且已近成功。当天，玉川安骑男通过电子邮件把这个消息发给了他的合作者之一、诺丁汉大学数论理论家Ivan Fesenk ...

佩雷尔曼庞加莱猜想证明

佩雷尔曼关于庞加莱猜想的证明，分为两篇论文，发布时间为2008年2月1日。据说佩雷尔曼当年，直接把证明随意挂在网上，甚至没有投任何杂志。再加上之后成为第二个拒领菲尔兹奖的数学家（第一个是众所周知的代数几何大神Grothendieck），可见佩雷尔曼完全是对这些功名毫不感兴趣。佩雷尔曼的事迹，可以说是我数学启蒙时期一个重要的动力来源之一，当时的我十分受到他的鼓舞。而佩雷尔曼关于庞加莱猜想的证明，虽然我看不懂（我也不是做微分几何的。。。），但收藏价值还是大大地有的，并且哪怕不懂还是可以拜读一下的。

Dugundji拓扑学基础教材Topology

本教材为拓扑学的基础入门教材，作者是Dugundji。本书从最基本的集合概念开始讲起，从集合论延伸至拓扑空间。最后也会涉及一些分析学和代数拓扑。这本书的内容十分完备且齐全，有时候看文献遇到一些比较罕见的术语（包括一些谷歌搜不到的），能在本书中找到。因此本书不仅仅是一本入门教材，还是一本拓扑学的供学者查阅的词典。此书我已收藏数年，如今分享出来给有需要的人。我上传资源尽量只上传可复制的pdf或djvu版，因为不可复制有些时候真的是硬伤。PS：因为文件大了一些，因此用压缩包压缩了一下大小，直接解压即可。作者不再提供附件下载。

国外Openstax微积分教材

OpenStax是一个免费课本网站，其出版的微积分系列教材分为三本。该微积分教材内容浅显易懂，并且图文并茂，带有彩色文字和彩图，书本整体的颜值很高。这跟国内的某些教材实在是没得比，关于国内外教材的对比可见我之前的文章为什么说外国教材好？国外教材与国内教材的区别。如果英文还算过关的话（其实数学英文并不难，见英语不好，读不懂英文数学教材怎么办？），那么看这种高质量教材学习微积分一定能让你受益匪浅！话不多说，现在就将他们分享出来。PS：由于单个pdf文件太大超过了附件大小限制，因此分成五个压缩包分卷上传。作者不再提供附件下载。

分析学大师Elias M. Stein的分析系列教材

分析学大师Elias M. Stein（曾是陶哲轩的老师），写了四本分析学系列教材，统称为普林斯顿分析学讲座（Princeton Lectures in Analysis）。他们分别是：I Fourier Analysis：An Introduction II Complex Analysis III Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces IV Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis当时集齐这四本书花了我不少时间，似乎这四本书知名度不一，我下的第一本是复分析教材Complex Analysis。现在我将这些好东西拿出来分享给有需要的人。PS：如果需要中译版的，目前只能找到《实分析》和《复分析》两本，链接：伊莱亚斯 M. 斯坦恩（Elias M. Stein）《复分析》与《实分析》教材更新：作者不再提供附件下载。

最近弦圈被不知名黑客攻击，服务可能不稳定

最近这几天，弦圈不知为何被不知名黑客攻击，导致服务可能不稳定或者中断。把服务器硬生生撑爆，然后服务器崩溃就可能会打不开网站，因此我就得重启服务器，重启也需要一些时间（可能得十多分钟吧）。不过后台用户的密码都是加密的，都不是明文储存，就连我都不知道密码是多少。目前针对网站的安全，我已经花钱升级了防御（几百块大洋😭），希望有用吧🙏

11.1 登上阿尔卑斯山，解锁成就“欧洲之巅”

【🇨🇭🏔11.1 阿尔卑斯山】🏔获得成就：欧洲之巅     登上少女峰其实是坐缆车加火车上去的，没有“登”这一说（）雪山，云海，冰川，冰河，乃至整个欧洲，都在阿尔卑斯山的最高峰少女峰上尽收眼底。真没想到，人生第一次看雪山的成就竟然是在这里达成的，令人感叹。或许之后看雪山还能唤起当时感觉的也许就只有去珠峰了罢。